Trigonométrie et le cercle unité

Le cercle qui dessine une onde

Niveau Débutant — langage simple, sans maths

Dessine un cercle et marque un point sur son bord. Maintenant fais tourner lentement le point tout autour, et observe seulement sa hauteur — à quelle distance au-dessus ou en dessous du milieu il se trouve. Quelque chose de magique apparaît : tandis que le point tourne et retourne, sa hauteur trace une onde lisse qui se répète à l'infini. Cette onde a un nom, l'onde sinusoïdale, et elle se cachait dans l'humble cercle depuis toujours.

Les deux nombres qui fixent le point sont les briques de la trigonométrie. Sa hauteur est le sinus de l'angle ; sa position à gauche ou à droite est le cosinus. Tandis que l'angle croît de 0° jusqu'à 360° et recommence, sinus et cosinus glissent en douceur entre +1 et -1. C'est tout ce qu'ils sont vraiment : la position verticale et horizontale d'un point qui tourne autour d'un cercle de rayon 1 — le cercle unité.

Ce n'est pas qu'une anecdote de cours de maths. Ce même motif cercle-en-onde se cache derrière presque tout ce qui se répète : le son d'une note de musique, l'oscillation d'un pendule, les marées, le courant alternatif dans tes murs, le tangage d'un bateau. Tout ce qui cycle peut s'écrire avec des sinus et des cosinus — c'est pourquoi cette petite image surgit partout où tu regardes, en physique, en ingénierie, en musique et en infographie.

Le cercle unité, et sinus, cosinus et tangente

Niveau Élève — les équations essentielles

Place un cercle de rayon 1 à l'origine et prends un point dessus à l'angle \(\theta\) (mesuré dans le sens antihoraire depuis le demi-axe x positif). Par définition les coordonnées de ce point sont \((\cos\theta,\ \sin\theta)\). Donc le cosinus est la coordonnée x et le sinus la coordonnée y — point. Tout le reste de la trigonométrie se déploie de là. Et comme le rayon est 1, Pythagore donne aussitôt l'identité \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\).

Dans un triangle rectangle les mêmes fonctions sont des rapports de côtés : sinus = opposé/hypoténuse, cosinus = adjacent/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent = \(\sin\theta/\cos\theta\). Le cercle unité et le triangle sont la même idée — le triangle n'est que le petit triangle rectangle formé par le point, le centre et l'axe x. La tangente mesure la pente de la droite du rayon, et file vers l'infini à 90°, où cette droite est verticale.

Comme le point revient à son point de départ à chaque tour complet, les trois fonctions sont périodiques, se répétant tous les 360° (ou \(2\pi\) radians). Les radians, où un cercle entier vaut \(2\pi\), sont l'unité naturelle : l'angle en radians est littéralement la longueur d'arc autour d'un cercle unité. Accélère la rotation et tu changes la fréquence de l'onde ; mets le cercle à l'échelle et tu changes son amplitude — les deux boutons derrière chaque onde de la nature.

Des triangles aux séries de Taylor, aux ondes et aux rotations

Niveau Expert — profondeur mathématique complète

01Radians et calcul

Sinus et cosinus ne deviennent propres qu'en radians : \(\tfrac{d}{dx}\sin x = \cos x\) et \(\tfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x\). Chacun est la dérivée de l'autre (au signe près), donc ensemble ils satisfont \(y'' = -y\) — l'équation différentielle de toute oscillation, d'un ressort à un circuit LC.

02Séries de Taylor et formule d'Euler

Tous deux ont des développements polynomiaux (de Taylor) infinis, et ceux-ci se tissent avec l'exponentielle via la formule d'Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). Pose \(\theta = \pi\) et tu obtiens \(e^{i\pi} + 1 = 0\), cinq constantes fondamentales en une seule ligne. Les exponentielles complexes sont le déguisement préféré des physiciens pour les ondes.

03Fourier : tout est sinus

Tout signal qui se répète, si dentelé soit-il, est une somme de sinus et de cosinus de fréquences différentes — une série de Fourier. C'est pourquoi le cercle unité sous-tend discrètement la compression audio, les formats d'image, le traitement du signal et les mathématiques de la mécanique quantique.

04Rotations et au-delà

Sinus et cosinus sont les entrées de la matrice de rotation 2D, donc ils pilotent toute l'infographie, la robotique et la mécanique orbitale. Le même couple se généralise aux hyperboliques \(\sinh\) et \(\cosh\) — où le cercle devient une hyperbole — qui décrivent les câbles suspendus et la géométrie de la relativité restreinte.