Le leggi dei gas

Perché i gas spingono, si comprimono e si gonfiano

Livello Base — linguaggio semplice, senza matematica

Un gas non ha una forma propria — si spande a riempire qualunque contenitore ci metti, che sia un palloncino, una gomma o un'intera stanza. Questo perché un gas è in realtà uno sciame di particelle inimmaginabilmente minuscole, che sfrecciano a centinaia di metri al secondo e rimbalzano su tutto ciò che colpiscono. Ogni volta che una di quelle particelle sbatte contro una parete dà una minuscola spinta, e il tamburellare costante di miliardi di esse è ciò che sentiamo come pressione.

Ora gioca con lo sciame. Comprimi il contenitore più piccolo e le stesse particelle sono stipate in meno spazio, quindi colpiscono le pareti più spesso — la pressione schizza in alto. Ecco perché una pompa da bici diventa più dura da spingere man mano che scendi. Scalda invece il gas e le particelle accelerano, sbattendo contro le pareti più forte e più spesso — la pressione sale di nuovo, ed è per questo che una lattina sigillata gettata sul fuoco alla fine scoppia.

Queste regole semplici governano una sorprendente fetta del mondo: gonfiano i tuoi polmoni, sollevano le mongolfiere, accendono i motori delle auto e fanno saltare un sacchetto di popcorn. Nella simulazione qui sotto, cambia la temperatura e la dimensione della scatola e guarda le particelle — e la pressione — rispondere.

La legge dei gas ideali e da dove viene

Livello Studente — le equazioni principali

Tre secoli di esperimenti hanno distillato il comportamento dei gas in una manciata di relazioni. Legge di Boyle: a temperatura fissa, pressione e volume sono inversamente legati, \(P \propto 1/V\) — dimezza il volume, raddoppia la pressione. Legge di Charles: a pressione fissa, il volume cresce con la temperatura assoluta, \(V \propto T\). Legge di Gay-Lussac: a volume fisso, la pressione cresce con la temperatura, \(P \propto T\). Punto cruciale, la \(T\) qui è misurata dallo zero assoluto — la scala Kelvin — perché è lì che la pressione di un gas, in linea di principio, svanirebbe.

Cuci insieme queste con l'intuizione di Avogadro — volumi uguali di qualsiasi gas contengono numeri uguali di particelle — e collassano in un'unica affermazione pulita, la legge dei gas ideali \(PV = nRT\). Qui \(n\) è la quantità in moli e \(R\) è la costante universale dei gas, \(8.314\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}\). Ogni legge precedente è solo questa equazione con una variabile tenuta ferma.

Da dove viene? Dalle particelle stesse. La teoria cinetica dei gas raffigura la pressione come il rinculo collettivo di innumerevoli impatti molecolari sulle pareti, e lega la temperatura direttamente a quanto veloci si muovono: l'energia cinetica media di una particella è \(\tfrac{3}{2}k_B T\). La temperatura, in altre parole, è moto molecolare — scalda un gas e stai letteralmente accelerando le sue particelle.

Teoria cinetica, distribuzioni e gas reali

Livello Esperto — profondità matematica completa

01La pressione, derivata dai primi principi

La legge dei gas ideali non è un assioma — cade fuori dalla meccanica. Tratta il gas come particelle puntiformi in moto elastico e casuale e conta la quantità di moto che consegnano a una parete: la pressione risulta \(P = \tfrac{1}{3}\dfrac{N}{V}m\langle v^2\rangle\). Confrontala con \(PV = Nk_B T\) e sei costretto a identificare \(\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T\). La temperatura emerge come nient'altro che l'energia cinetica traslazionale media per particella — un ponte dalle leggi di Newton dritto alla termodinamica.

02Non una velocità ma uno spettro

Le particelle non condividono un'unica velocità; seguono la distribuzione di Maxwell-Boltzmann, \(f(v) \propto v^2 e^{-mv^2/2k_B T}\), una curva asimmetrica con una lunga coda veloce. Fornisce tre distinte velocità "medie" — più probabile, media e quadratica media — e la curva si allarga e si sposta a destra man mano che \(T\) sale. Quella coda ad alta velocità conta enormemente: sono le rare molecole veloci a superare le barriere di reazione, quindi sta alla base della dipendenza esponenziale dalla temperatura della chimica stessa.

03Energia distribuita: l'equipartizione

Perché \(\tfrac{3}{2}k_B T\)? Il teorema di equipartizione assegna a ogni grado di libertà quadratico esattamente \(\tfrac{1}{2}k_B T\) di energia. Un gas monoatomico ne ha tre (moto in x, y, z), dando \(C_V = \tfrac{3}{2}R\); un gas biatomico aggiunge due modi rotazionali per \(\tfrac{5}{2}R\). La parte sorprendente è che i modi vibrazionali restano silenti finché il gas non è abbastanza caldo — un effetto puramente quantistico che la fisica classica non poté mai spiegare, e una prima crepa nel mondo classico.

04Quando i gas reali si comportano male

La legge ideale assume che le particelle siano punti che non si attraggono mai — falso su entrambi i conti. Le molecole reali occupano spazio e sentono deboli attrazioni a lungo raggio, così van der Waals rattoppò l'equazione, \(\left(P + \dfrac{an^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT\): il termine \(a\) corregge per l'attrazione, il termine \(b\) per la dimensione finita. Questa singola correzione predice qualcosa che la legge ideale non poté mai — che un gas può condensare in un liquido, completo di un punto critico oltre il quale i due stati diventano indistinguibili.

05Quanto lontano, quanto veloce: il trasporto

Tra una collisione e l'altra una molecola percorre un libero cammino medio \(\lambda = 1/(\sqrt{2}\,n\sigma)\) — a pressione ambiente solo circa 70 nanometri, quindi una molecola collide miliardi di volte al secondo. Questo zig-zag microscopico fissa la viscosità del gas, la conducibilità termica e la velocità di diffusione, e spiega la legge di Graham: le molecole più leggere si muovono più veloci ed effondono più rapidamente, esattamente il principio un tempo usato per separare gli isotopi dell'uranio per le prime bombe atomiche.

06I limiti dell'immagine

Raffredda un gas abbastanza e persino van der Waals fallisce, perché la statistica quantistica prende il sopravvento. Una volta che la lunghezza d'onda termica di de Broglie rivaleggia con la spaziatura tra particelle, particelle identiche non possono più essere trattate come indipendenti: i bosoni si affollano in un singolo stato a formare un condensato di Bose-Einstein, mentre i fermioni sono forzati a separarsi dal principio di Pauli, sostenendo nane bianche e stelle di neutroni contro la gravità. Le umili leggi dei gas sono l'angolo ad alta temperatura e bassa densità di un paesaggio quantistico ben più strano.