Aimants et électromagnétisme

L'électricité et le magnétisme sont la même chose

Niveau Débutant — langage simple, sans maths

Les aimants ont l'air d'une magie à part : un bout de métal qui tend la main et en attrape un autre à travers le vide. Pendant des siècles personne ne les a reliés à l'électricité. Puis, en 1820, un enseignant danois nommé Hans Christian Ørsted montrait un circuit électrique à sa classe et remarqua qu'une aiguille de boussole posée à côté sursautait chaque fois qu'il allumait le courant. Ce sursaut a changé la physique pour toujours.

Ce sur quoi Ørsted était tombé, c'est ceci : un courant électrique crée un champ magnétique. Pas un soupçon de champ : un vrai. Enroulez un fil en bobine, poussez-y du courant, et vous avez fabriqué un aimant aussi authentique qu'un morceau de fer, avec un pôle nord et un pôle sud. Coupez le courant et le magnétisme s'évanouit. Inversez le courant et le pôle nord devient le sud. Dans la simulation ci-dessus, montez le courant et regardez tout un champ d'aiguilles de boussole pivoter pour obéir à votre bobine plutôt qu'à la Terre.

Puis vient la belle partie, trouvée par Michael Faraday onze ans plus tard : la voie va dans les deux sens. Bougez un aimant près d'une bobine de fil et un courant apparaît dans le fil. Pas parce que vous avez branché une pile - il n'y a pas de pile - mais uniquement parce que l'aimant a bougé. Poussez-le dedans, le courant circule dans un sens. Retirez-le, il circule dans l'autre. Tenez-le parfaitement immobile dans la bobine et, quelle que soit la puissance de l'aimant, il ne se passe absolument rien. C'est le changement qui compte.

La nature résiste aussi, et c'est la partie que les gens trouvent inquiétante. Le courant qui apparaît circule toujours dans le sens qui s'oppose à ce que vous faites. Poussez l'aimant dedans et la bobine devient un aimant qui repousse. Retirez-le et la bobine le retient. C'est la loi de Lenz, et au fond ce n'est que la conservation de l'énergie déguisée : si la bobine vous aidait au lieu de vous résister, vous auriez de l'électricité gratuite. Chaque centrale électrique de la planète est quelqu'un qui force un aimant à passer devant une bobine contre exactement cette résistance.

Champs, flux et loi de Faraday

Niveau Élève — les équations essentielles

Un fil parcouru par un courant est entouré d'un champ magnétique qui tourne autour de lui, et l'intensité de ce champ suit la loi d'Ampère. Enroulez le fil en un long solénoïde et les champs des spires s'additionnent le long de l'axe, donnant un champ intérieur presque uniforme \(B = \mu_0 n I\), où \(n\) est le nombre de spires par mètre. Quatre mille spires par mètre à 3 A donnent environ 15 mT, soit à peu près trois cents fois les 50 µT terrestres : d'où le fait qu'une boussole placée à proximité cesse de s'intéresser au nord.

Hors du solénoïde, le champ est un dipôle, de forme identique à celui d'un barreau aimanté, et il décroît en \(1/r^3\). Ce cube mérite qu'on s'y arrête. Le rayon auquel la bobine bat encore le champ terrestre ne varie qu'en \(I^{1/3}\) : pour doubler la portée il faut huit fois le courant. Les aimants puissants ne sont pas des aimants à longue portée.

La loi de Faraday traite le sens inverse. Définissez le flux magnétique à travers une bobine de \(N\) spires et d'aire \(A\) par \(\Phi = NBA\) ; la force électromotrice induite vaut \(\mathcal{E} = -\,d\Phi/dt\). Tout dans cette expression est une vitesse de variation. Un aimant immobile, si puissant soit-il, donne \(d\Phi/dt = 0\) et donc rien. Bougez-le et la fém suit le gradient du champ, pas le champ : voilà pourquoi, tandis qu'un aimant traverse une bobine, la tension induite culmine deux fois avec des signes opposés et passe exactement par zéro à l'instant où l'aimant est centré et où le champ à travers la bobine est le plus fort.

Le signe moins est la loi de Lenz, et ce n'est pas un ornement. Le courant induit circule de façon que son propre champ magnétique s'oppose au changement qui l'a produit : à un pôle nord qui approche répond un pôle nord induit, à un qui s'éloigne un pôle sud. Inversez le signe et vous auriez une bobine qui accélère l'aimant, extrayant de l'énergie de nulle part. Le travail mécanique que vous fournissez contre cette opposition est exactement l'énergie électrique que vous obtenez. C'est cela, un générateur.

D'Ørsted à Maxwell, et pourquoi le magnétisme est de la relativité

Niveau Expert — profondeur mathématique complète

01Deux lois, un champ

La loi circuitale d'Ampère, \(\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{enc}}\), dit qu'un courant enfile un champ magnétique autour de lui. La loi de Faraday, \(\oint \vec E \cdot d\vec l = -\,d\Phi_B/dt\), dit qu'un flux magnétique variable enfile autour de lui un champ électrique. Écrites en paire elles paraissent déjà suspectement symétriques, et cette symétrie est la graine de tout ce qui suit. En forme différentielle : \(\nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J\) et \(\nabla \times \vec E = -\partial \vec B / \partial t\).

02Le terme qu'a ajouté Maxwell

La loi d'Ampère telle qu'énoncée est incohérente : prenez la divergence des deux membres et vous obtenez \(\nabla \cdot \vec J = 0\), ce qui est faux dès que la charge s'accumule, comme sur un condensateur en charge. Maxwell l'a réparée avec le courant de déplacement, \(\nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J + \mu_0 \varepsilon_0\,\partial \vec E/\partial t\). La réparation n'était pas cosmétique. Avec elle, les équations dans le vide se combinent en une équation d'onde de vitesse \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\), un nombre que Maxwell pouvait évaluer à partir de mesures purement électriques et qui se trouva égal à la vitesse de la lumière mesurée. Que la lumière soit une onde électromagnétique fut révélé par une correction de cohérence algébrique.

03Le signe de Lenz, et pourquoi il ne peut être autrement

Le signe moins de la loi de Faraday est fixé par la conservation de l'énergie, pas par convention. Considérez une bobine de résistance \(R\) : le courant induit \(I = \mathcal{E}/R\) dissipe \(\mathcal{E}^2/R\), et cette puissance doit venir de qui déplace l'aimant. La force de freinage sur l'aimant vaut donc \(F = \mathcal{E}^2/(Rv)\), qui varie en \(v\) à géométrie donnée, ce qui est précisément pourquoi un aimant atteint une vitesse limite dans un tube de cuivre, les courants de Foucault dissipant exactement la puissance gravitationnelle entrante. Inversez le signe et le système devient divergent.

04Règle du flux contre loi de force

Feynman a signalé la règle du flux \(\mathcal{E} = -d\Phi/dt\) comme un cas rare où une seule formule couvre deux mécanismes physiquement distincts. Quand le circuit se déplace, la fém vient de la partie magnétique de la force de Lorentz, \(q\vec v \times \vec B\), agissant sur des charges entraînées à travers un champ statique. Quand le champ varie et que le circuit est immobile, la fém vient d'un véritable champ électrique induit, \(\nabla \times \vec E = -\partial\vec B/\partial t\). Deux termes différents de la force de Lorentz conspirent pour donner la même réponse, et il existe des géométries artificielles où la règle du flux échoue alors que la loi de force tient.

05Le magnétisme, ou l'électrostatique vue d'un train

La conspiration n'est pas une coïncidence. Prenez un fil neutre parcouru par un courant et une charge qui dérive à côté. Dans le référentiel du laboratoire le fil est neutre et la force sur la charge est purement magnétique. Passez dans le référentiel de la charge et la force magnétique disparaît, mais la contraction de Lorentz des densités de charge positive et négative diffère, car elles se déplacent à des vitesses différentes, si bien que le fil n'est plus neutre et qu'il y a une force électrique à la place. Même force, noms différents. Le magnétisme est ce à quoi ressemble l'électrostatique depuis un référentiel en mouvement, et le facteur \(1/c^2\) entre les deux explique pourquoi les effets magnétiques, à des vitesses de dérive quotidiennes de millimètres par seconde, sont malgré tout si forts : les énormes densités de charge compensent.

06Le monopôle manquant

Les équations de Maxwell sont presque symétriques par échange de \(\vec E\) et \(\vec B\). Presque, car \(\nabla \cdot \vec B = 0\) n'a aucune contrepartie de charge magnétique à \(\nabla \cdot \vec E = \rho/\varepsilon_0\). Coupez un barreau aimanté en deux et vous obtenez deux aimants, jamais un pôle isolé. Dirac a montré en 1931 que l'existence ne serait-ce que d'un monopôle quelque part dans l'univers forcerait la charge électrique à être quantifiée, en unités \(eg = n\hbar c/2\), ce qui expliquerait le fait autrement inexpliqué que chaque électron porte exactement la même charge. On n'en a jamais trouvé, et la quantification de la charge reste inexpliquée.