Magneti ed elettromagnetismo

Elettricità e magnetismo sono la stessa cosa

Livello Base — linguaggio semplice, senza matematica

I magneti sembrano una magia a parte: un pezzo di metallo che allunga la mano e ne afferra un altro attraverso il vuoto. Per secoli nessuno li collegò affatto all'elettricità. Poi, nel 1820, un insegnante danese di nome Hans Christian Ørsted stava mostrando un circuito elettrico alla sua classe e notò che l'ago di una bussola lì accanto sussultava ogni volta che accendeva la corrente. Quel sussulto cambiò la fisica per sempre.

Quello in cui Ørsted era inciampato è questo: una corrente elettrica crea un campo magnetico. Non un accenno di campo: uno vero. Avvolgi un filo in una bobina, spingici dentro corrente e hai costruito un magnete autentico quanto un pezzo di ferro, con un polo nord e un polo sud. Spegni la corrente e il magnetismo svanisce. Inverti la corrente e il polo nord diventa il sud. Nella simulazione qui sopra alza la corrente e guarda un intero campo di aghi di bussola girarsi a obbedire alla tua bobina invece che alla Terra.

Poi arriva la parte bella, scoperta da Michael Faraday undici anni dopo: la strada va in tutti e due i sensi. Muovi un magnete vicino a una bobina di filo e nel filo compare una corrente. Non perché tu abbia collegato una batteria - non c'è nessuna batteria - ma unicamente perché il magnete si è mosso. Spingilo dentro, la corrente scorre in un verso. Tiralo fuori, scorre nell'altro. Tienilo fermo dentro la bobina e, per quanto forte sia il magnete, non succede assolutamente nulla. È il cambiare che conta.

La natura poi oppone resistenza, e questa è la parte che la gente trova inquietante. La corrente che compare scorre sempre nel verso che si oppone a ciò che stai facendo. Spingi il magnete dentro e la bobina diventa un magnete che ti respinge. Tiralo fuori e la bobina lo trattiene. È la legge di Lenz, e in fondo è solo la conservazione dell'energia travestita: se la bobina ti aiutasse invece di ostacolarti, avresti elettricità gratis. Ogni centrale elettrica del pianeta è qualcuno che costringe un magnete a passare davanti a una bobina proprio contro questa resistenza.

Campi, flusso e legge di Faraday

Livello Studente — le equazioni principali

Un filo percorso da corrente è circondato da un campo magnetico che gli gira attorno, e l'intensità di quel campo segue la legge di Ampère. Avvolgi il filo in un solenoide lungo e i campi delle singole spire si sommano lungo l'asse, dando un campo interno quasi uniforme \(B = \mu_0 n I\), dove \(n\) è il numero di spire per metro. Quattromila spire al metro a 3 A danno circa 15 mT, all'incirca trecento volte i 50 µT terrestri: ecco perché una bussola messa lì vicino smette di interessarsi al nord.

Fuori dal solenoide il campo è un dipolo, identico per forma a quello di una calamita a barra, e cala come \(1/r^3\). Su quel cubo vale la pena fermarsi. Il raggio entro cui la bobina batte ancora il campo terrestre scala solo come \(I^{1/3}\): per raddoppiare la portata ti serve otto volte la corrente. I magneti forti non sono magneti che arrivano lontano.

La legge di Faraday si occupa del verso inverso. Definisci il flusso magnetico attraverso una bobina di \(N\) spire e area \(A\) come \(\Phi = NBA\); la forza elettromotrice indotta è \(\mathcal{E} = -\,d\Phi/dt\). Tutto in quell'espressione è una velocità di variazione. Un magnete fermo, per quanto potente, dà \(d\Phi/dt = 0\) e quindi niente. Muovilo e la fem segue il gradiente del campo, non il campo: ecco perché, mentre un magnete attraversa una bobina, la tensione indotta ha due picchi di segno opposto e passa esattamente per lo zero nell'istante in cui il magnete è centrato e il campo attraverso la bobina è massimo.

Il segno meno è la legge di Lenz, e non è un ornamento. La corrente indotta circola in modo che il suo campo magnetico si opponga alla variazione che l'ha prodotta: a un polo nord in avvicinamento risponde un polo nord indotto, a uno che si allontana un polo sud. Inverti il segno e avresti una bobina che accelera il magnete, estraendo energia dal nulla. Il lavoro meccanico che fai contro quell'opposizione è esattamente l'energia elettrica che ottieni. Questo è un generatore.

Da Ørsted a Maxwell, e perché il magnetismo è relatività

Livello Esperto — profondità matematica completa

01Due leggi, un campo

La legge circuitale di Ampère, \(\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{conc}}\), dice che una corrente si infila un campo magnetico attorno. La legge di Faraday, \(\oint \vec E \cdot d\vec l = -\,d\Phi_B/dt\), dice che un flusso magnetico variabile si infila attorno un campo elettrico. Scritte come coppia sembrano già sospettosamente simmetriche, e quella simmetria è il seme di tutto ciò che segue. In forma differenziale: \(\nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J\) e \(\nabla \times \vec E = -\partial \vec B / \partial t\).

02Il termine che aggiunse Maxwell

La legge di Ampère così enunciata è inconsistente: prendi la divergenza di entrambi i membri e ottieni \(\nabla \cdot \vec J = 0\), falso ogni volta che la carica si accumula, come su un condensatore in carica. Maxwell la riparò con la corrente di spostamento, \(\nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J + \mu_0 \varepsilon_0\,\partial \vec E/\partial t\). La riparazione non fu cosmetica. Con essa le equazioni nel vuoto si combinano in un'equazione d'onda con velocità \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\), un numero che Maxwell poteva calcolare da misure puramente elettriche e che risultò uguale alla velocità della luce misurata. Che la luce fosse un'onda elettromagnetica emerse da una correzione di consistenza algebrica.

03Il segno di Lenz, e perché non può essere altrimenti

Il segno meno nella legge di Faraday è fissato dalla conservazione dell'energia, non dalla convenzione. Considera una bobina di resistenza \(R\): la corrente indotta \(I = \mathcal{E}/R\) dissipa \(\mathcal{E}^2/R\), e quella potenza deve venire da chi muove il magnete. La forza frenante sul magnete è dunque \(F = \mathcal{E}^2/(Rv)\), che scala come \(v\) a geometria data, ed è esattamente il motivo per cui un magnete raggiunge una velocità limite dentro un tubo di rame, con le correnti parassite che dissipano precisamente la potenza gravitazionale in ingresso. Inverti il segno e il sistema diventa divergente.

04Regola del flusso contro legge della forza

Feynman segnalò la regola del flusso \(\mathcal{E} = -d\Phi/dt\) come un caso raro in cui una sola formula copre due meccanismi fisicamente distinti. Quando il circuito si muove, la fem viene dalla parte magnetica della forza di Lorentz, \(q\vec v \times \vec B\), che agisce su cariche trascinate attraverso un campo statico. Quando il campo varia e il circuito è fermo, la fem viene da un vero campo elettrico indotto, \(\nabla \times \vec E = -\partial\vec B/\partial t\). Due termini diversi della forza di Lorentz cospirano a dare la stessa risposta, e ci sono geometrie artificiose in cui la regola del flusso fallisce mentre la legge della forza no.

05Il magnetismo come elettrostatica vista da un treno

La cospirazione non è una coincidenza. Prendi un filo neutro percorso da corrente e una carica che gli scorre accanto. Nel sistema del laboratorio il filo è neutro e la forza sulla carica è puramente magnetica. Passa nel sistema della carica e la forza magnetica svanisce, ma la contrazione di Lorentz delle densità di carica positiva e negativa è diversa, perché si muovono a velocità diverse, quindi il filo non è più neutro e al suo posto c'è una forza elettrica. Stessa forza, nomi diversi. Il magnetismo è ciò che l'elettrostatica sembra da un sistema in moto, e il fattore \(1/c^2\) fra i due spiega perché gli effetti magnetici alle velocità di deriva quotidiane di millimetri al secondo siano comunque così forti: le enormi densità di carica compensano.

06Il monopolo mancante

Le equazioni di Maxwell sono quasi simmetriche allo scambio di \(\vec E\) e \(\vec B\). Quasi, perché \(\nabla \cdot \vec B = 0\) non ha alcuna controparte di carica magnetica a \(\nabla \cdot \vec E = \rho/\varepsilon_0\). Taglia in due una calamita e ottieni due calamite, mai un polo isolato. Dirac mostrò nel 1931 che l'esistenza anche di un solo monopolo ovunque nell'universo costringerebbe la carica elettrica a essere quantizzata, in unità \(eg = n\hbar c/2\), il che spiegherebbe il fatto altrimenti inspiegato che ogni elettrone porti esattamente la stessa carica. Non se n'è mai trovato uno, e la quantizzazione della carica resta senza spiegazione.