Éoliennes et limite de Betz

Pourquoi une éolienne doit laisser le vent repartir

Niveau Débutant — langage simple, sans maths

Le vent, c'est juste de l'air pressé d'aller ailleurs. Il porte de l'énergie parce qu'il bouge, et le métier d'une éolienne est d'en voler un peu au passage. Ce qui surprend, c'est la quantité disponible, et la brutalité avec laquelle elle dépend de la vitesse. Double le vent et tu n'obtiens pas le double de puissance : tu en obtiens huit fois plus. Deux choses doublent en même temps : la vitesse de chaque paquet d'air, et le nombre de paquets qui arrivent chaque seconde. Multiplie et la puissance suit le cube de la vitesse.

C'est pourquoi la carte des vents compte plus que la machine. Un site 20 % plus venté délivre environ 70 % d'énergie en plus avec exactement la même éolienne, et c'est pour cela que les développeurs se disputent tant sur la hauteur du moyeu : monte de 50 mètres et tu laisses derrière toi le frottement du sol, là où le vent est plus rapide et plus régulier.

Et maintenant la belle partie. On imaginerait que l'éolienne parfaite prend toute l'énergie du vent. Elle ne peut pas - et pas parce que nous serions incapables de les construire. Si les pales prenaient vraiment tout, l'air derrière serait à l'arrêt. L'air arrêté ne s'écarte pas, et l'air qui ne s'écarte pas bloque tout celui qui arrive derrière. Prends tout et plus rien n'arrive. Ne prends rien et l'air file sans être touché. Quelque part entre ces deux échecs se trouve le meilleur compromis possible.

Albert Betz a calculé où en 1919. Ralentis le vent aux deux tiers de sa vitesse en traversant les pales, laisse-le repartir à un tiers, et tu extrais 59,3 % de l'énergie de l'air - le maximum qu'un rotor ouvert pourra jamais prendre. Les vraies éoliennes atteignent 45 à 50 %, remarquablement près d'un plafond théorique. Et elles ne tournent que dans une fenêtre : sous environ 3 m/s cela ne vaut pas la peine, au-dessus de 25 m/s elles mettent les pales en drapeau face à la tempête et s'arrêtent, parce que survivre au coup de vent vaut plus que l'électricité qu'il contient.

La loi du cube, le disque actuateur et d'où sort 16/27

Niveau Élève — les équations essentielles

Partons de l'énergie cinétique. Un paquet d'air de masse \(m\) se déplaçant à \(v\) porte \(\tfrac{1}{2}mv^2\). La masse qui traverse chaque seconde un disque de surface \(A\) vaut \(\dot m = \rho A v\). Multiplie : la puissance traversant ce disque est \(P = \tfrac{1}{2}\rho A v^3\). Le cube n'est pas un choix de modélisation : c'est que \(v\) apparaît une fois dans l'énergie par unité de masse et une seconde fois dans la quantité de masse qui se présente.

Traite maintenant le rotor comme un disque actuateur : une surface perméable qui retire de la quantité de mouvement sans se soucier du nombre de pales. Définis le facteur d'induction axiale \(a\) en disant que le vent a déjà ralenti à \(v(1-a)\) lorsqu'il atteint le disque. La conservation de la quantité de mouvement impose alors au sillage lointain \(v(1-2a)\) : le disque se situe exactement à mi-chemin du ralentissement total. La poussée vaut \(T = \dot m\,\Delta v = \rho A v(1-a)\cdot 2av\), et la puissance extraite est cette poussée multipliée par la vitesse au disque.

Assemble les morceaux et il vient \(P = 2\rho A v^3 a(1-a)^2\), qui, rapportée à la puissance du vent, donne le coefficient de puissance \(C_p = 4a(1-a)^2\). Cette fonction est nulle aux deux bouts et bombée au milieu, alors dérive : \(dC_p/da = 4(1-a)(1-3a)\), qui s'annule pour \(a = 1/3\). En substituant on obtient \(C_p = 16/27 = 0{,}593\). C'est la limite de Betz, et remarque ce dont elle n'a pas eu besoin : aucune forme de pale, aucune aérodynamique, aucun matériau. Seulement de la masse et de la quantité de mouvement.

Les machines réelles tournent à \(C_p \approx 0{,}45\text{–}0{,}50\), le reste partant en rotation du sillage, nombre fini de pales et traînée. Elles vivent aussi dans une enveloppe de commande. Sous la vitesse de démarrage, le couple ne suffit pas à vaincre les pertes. Entre démarrage et puissance nominale, la commande fait varier la vitesse du rotor pour maintenir le rapport de vitesse en bout de pale \(\lambda = \omega R/v\) près de son optimum d'environ 7, gardant \(C_p\) à son maximum. Au-dessus du vent nominal la génératrice est à sa limite, alors les pales pivotent hors du vent et jettent délibérément de l'énergie pour tenir la puissance plate. Au-delà de la vitesse d'arrêt, tout se met en drapeau et s'immobilise.

Théorie de la quantité de mouvement, éléments de pale et la bataille carré-cube qui fixe la taille

Niveau Expert — profondeur mathématique complète

01Le disque actuateur, dit honnêtement

La théorie unidimensionnelle de la quantité de mouvement remplace le rotor par un disque perméable à travers lequel la pression chute de façon discontinue tandis que la vitesse axiale reste continue. En appliquant Bernoulli séparément en amont et en aval du disque - impossible de l'appliquer à travers, puisqu'on y retire de l'énergie - on obtient \(\Delta p = \tfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2)\), donc une poussée \(T = A\Delta p\). En l'égalant au flux de quantité de mouvement \(\dot m (v_1-v_2)\) avec \(\dot m = \rho A v_d\), on impose \(v_d = \tfrac{1}{2}(v_1+v_2)\) : la vitesse au disque est la moyenne arithmétique des vitesses lointaines. Tout le reste en découle, y compris \(P = 2\rho A v_1^3 a(1-a)^2\) et l'expansion du tube de courant \(A_1 v_1 = A_d v_d = A_2 v_2\) qui fait visiblement grossir l'écoulement au passage.

02Ce que la limite interdit vraiment

Maximiser \(C_p = 4a(1-a)^2\) donne \(16/27\) pour \(a = 1/3\), et la dérivation elle-même cesse d'être valable au-delà de \(a \approx 0{,}4\), où le sillage devient turbulent et où des corrections empiriques prennent le relais. Trois précisions méritent d'être posées. La rotation du sillage - le couple de réaction fait tourner le sillage - coûte encore quelques pour cent, davantage à basse vitesse spécifique : c'est la correction de Glauert. Le nombre fini de pales laisse fuir de l'écoulement autour des extrémités, et le facteur de perte en bout de Prandtl en rend compte. Enfin la limite est définie par rapport à la surface du disque : une éolienne carénée peut dépasser \(16/27\) de sa surface de rotor précisément parce qu'elle aspire un tube de courant plus large que le rotor, ce qui n'est pas une violation mais un changement de dénominateur.

03Du disque aux vraies pales

La théorie des éléments de pale comble l'écart. Découpe la pale en éléments radiaux, chacun étant un profil voyant un vent relatif combinant l'écoulement axial \(v(1-a)\) et l'écoulement de rotation \(\omega r(1+a')\), où \(a'\) est le facteur d'induction tangentielle. Chaque élément produit portance et traînée à partir de son angle d'attaque local ; on intègre pour la poussée et le couple, puis on itère jusqu'à ce que les charges des éléments et le bilan de quantité de mouvement s'accordent. Le gain de conception est que la portance domine : les rotors modernes sont des machines à portance travaillant à des vitesses spécifiques proches de 7, où le bout de pale va plusieurs fois plus vite que le vent - d'où la victoire de trois pales élancées sur un rotor à voiles à dizaines de pales.

04La commande, en quatre régions

Sous la vitesse de démarrage, le couple aérodynamique ne vainc pas les pertes. En région 2, la commande applique à la génératrice un couple \(Q = K\omega^2\) avec \(K = \tfrac{1}{2}\rho\pi R^5 C_{p,\max}/\lambda_{\text{opt}}^3\), ce qui - remarquablement - maintient \(\lambda\) à son optimum sans jamais mesurer le vent. En région 2.5, le rotor atteint sa limite de vitesse et \(\lambda\) dérive. Au-dessus du vent nominal, région 3, la machine produit déjà toute la puissance que génératrice et câbles peuvent encaisser, donc le calage collectif tourne les pales dans le vent pour délester de la portance et tenir \(P\) plate - en gaspillant volontairement de l'énergie sur tout le reste de la courbe. Au-delà de la vitesse d'arrêt, typiquement 25 m/s, le rotor se met en drapeau et tourne à vide, car les charges qui comptent sont structurelles et non électriques.

05Pourquoi les éoliennes n'arrêtent pas de grandir

La capture d'énergie suit \(D^2\) tandis qu'une mise à l'échelle naïve de la masse des pales suit \(D^3\) - la loi du carré-cube, qui aurait dû stopper la croissance il y a des décennies. Elle ne l'a pas fait, parce que le cube n'est pas respecté : semelles de longeron en carbone, pales élancées à grand allongement, moules segmentés et génératrices à entraînement direct ont maintenu l'exposant de masse près de 2,3. La hauteur aide deux fois, puisque le profil de cisaillement \(v(z) = v_r(z/z_r)^\alpha\) avec \(\alpha \approx 0{,}14\) en terrain dégagé signifie qu'un moyeu plus haut baigne dans un air plus rapide et moins turbulent, et le cube amplifie ce gain. Les contraintes qui mordent aujourd'hui sont la logistique et les charges en pied de pale, pas l'aérodynamique.

06D'une machine à un parc éolien

L'énergie annuelle n'est pas la courbe de puissance au vent moyen mais la courbe intégrée contre la distribution du vent, en général une Weibull de forme \(k \approx 2\) : \(E = 8760\int_0^\infty P(v)f(v)\,dv\). Comme \(P \propto v^3\) sous la nominale, la variance rapporte de l'argent. Mets ensuite les machines ensemble et elles se gênent : chaque sillage porte un déficit de vitesse qui se comble lentement, et des pertes de parc de 5 à 15 % sont courantes, d'où un espacement de 7 à 10 diamètres sous le vent. Le simple modèle de Jensen, \(v_w = v\left[1-2a/(1+2kx/D)^2\right]\), sous-tend encore l'optimisation des implantations. Ce qui finit par contraindre, c'est le réseau : une flotte asynchrone couplée par onduleurs n'apporte aucune inertie naturelle, si bien que les mêmes machines qui font les électrons bon marché rendent le réglage de fréquence plus difficile - un problème comptable que tout le système doit désormais résoudre.