Turbine eoliche e il limite di Betz

Perché una turbina deve lasciar andare il vento

Livello Base — linguaggio semplice, senza matematica

Il vento è solo aria che ha fretta di andare da qualche parte. Porta energia perché si muove, e il mestiere di una turbina è rubarne un po' al volo. Quello che stupisce è quanta ce n'è, e quanto brutalmente dipenda dalla velocità. Raddoppia il vento e non ottieni il doppio della potenza: ne ottieni otto volte tanto. Raddoppiano due cose insieme: quanto va veloce ogni pacchetto d'aria e quanti pacchetti arrivano ogni secondo. Moltiplica e la potenza va col cubo della velocità.

Per questo la mappa dei venti conta più della macchina. Un sito con vento più forte del 20% rende circa il 70% di energia in più con la stessa identica turbina, ed è per questo che gli sviluppatori litigano tanto sull'altezza del mozzo: sali di 50 metri e ti lasci alle spalle l'attrito del suolo, dove il vento è più veloce e più regolare.

E ora la parte bella. Verrebbe da pensare che la turbina perfetta prenda tutta l'energia del vento. Non può - e non perché siamo incapaci di costruirle. Se le pale prendessero davvero tutto, l'aria dietro sarebbe ferma. L'aria ferma non si toglie di mezzo, e l'aria che non si toglie di mezzo blocca tutta quella che sta arrivando dietro. Prendi tutto e non arriva più niente. Non prendere niente e l'aria passa oltre intatta. Da qualche parte fra questi due fallimenti sta il miglior compromesso possibile.

Albert Betz calcolò dove nel 1919. Rallenta il vento a due terzi della velocità iniziale mentre passa fra le pale, lascialo uscire a un terzo, ed estrai il 59,3% dell'energia dell'aria: il massimo che un rotore aperto potrà mai prendere. Le turbine vere arrivano al 45-50%, notevolmente vicino a un tetto teorico. E lavorano solo dentro una finestra: sotto i 3 m/s circa non vale la pena girare, sopra i 25 m/s mettono le pale di taglio alla tempesta e si fermano, perché sopravvivere alla burrasca vale più dell'elettricità che c'è dentro.

La legge del cubo, il disco attuatore e da dove esce 16/27

Livello Studente — le equazioni principali

Si parte dall'energia cinetica. Un pacchetto d'aria di massa \(m\) che si muove a \(v\) porta \(\tfrac{1}{2}mv^2\). La massa che arriva ogni secondo attraverso un disco di area \(A\) è \(\dot m = \rho A v\). Moltiplica: la potenza che attraversa quel disco è \(P = \tfrac{1}{2}\rho A v^3\). Il cubo non è una scelta di modello: è che \(v\) compare una volta nell'energia per unità di massa e un'altra volta in quanta massa si presenta.

Adesso tratta il rotore come un disco attuatore: una superficie permeabile che toglie quantità di moto senza curarsi di quante pale lo facciano. Definisci il fattore di induzione assiale \(a\) dicendo che il vento è già rallentato a \(v(1-a)\) quando raggiunge il disco. La conservazione della quantità di moto impone allora che la scia lontana vada a \(v(1-2a)\): il disco sta esattamente a metà del rallentamento totale. La spinta è \(T = \dot m\,\Delta v = \rho A v(1-a)\cdot 2av\), e la potenza estratta è quella spinta per la velocità al disco.

Metti insieme i pezzi e viene \(P = 2\rho A v^3 a(1-a)^2\), che come frazione della potenza del vento dà il coefficiente di potenza \(C_p = 4a(1-a)^2\). Questa funzione è nulla ai due estremi e ha una gobba in mezzo, quindi deriva: \(dC_p/da = 4(1-a)(1-3a)\), che si annulla per \(a = 1/3\). Sostituendo si ottiene \(C_p = 16/27 = 0{,}593\). È il limite di Betz, e nota che cosa non è servito: nessuna forma di pala, nessuna aerodinamica, nessun materiale. Solo massa e quantità di moto.

Le macchine vere stanno a \(C_p \approx 0{,}45\text{–}0{,}50\), e il resto se ne va in rotazione della scia, numero finito di pale e resistenza. Vivono anche dentro un inviluppo di controllo. Sotto la velocità di avvio la coppia non basta a vincere le perdite. Fra avvio e potenza nominale il controllore varia la velocità del rotore per tenere il rapporto di velocità periferica \(\lambda = \omega R/v\) vicino al suo ottimo di circa 7, mantenendo \(C_p\) al massimo. Sopra il vento nominale il generatore è al limite, quindi le pale ruotano fuori dal vento e buttano via energia di proposito per tenere la potenza piatta. Sopra la velocità di distacco tutto si mette in bandiera e si ferma.

Teoria della quantità di moto, elementi di pala e la lotta quadrato-cubo che decide la taglia

Livello Esperto — profondità matematica completa

01Il disco attuatore, detto onestamente

La teoria monodimensionale della quantità di moto sostituisce il rotore con un disco permeabile attraverso cui la pressione cade in modo discontinuo mentre la velocità assiale resta continua. Applicando Bernoulli separatamente a monte e a valle del disco - non si può applicare attraverso, perché lì si sta togliendo energia - si ottiene \(\Delta p = \tfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2)\), quindi la spinta \(T = A\Delta p\). Uguagliandola al flusso di quantità di moto \(\dot m (v_1-v_2)\) con \(\dot m = \rho A v_d\) si impone \(v_d = \tfrac{1}{2}(v_1+v_2)\): la velocità al disco è la media aritmetica delle velocità lontane. Da lì segue tutto, compresi \(P = 2\rho A v_1^3 a(1-a)^2\) e l'espansione del tubo di flusso \(A_1 v_1 = A_d v_d = A_2 v_2\) che fa vedere il flusso ingrassare mentre passa.

02Che cosa vieta davvero il limite

Massimizzando \(C_p = 4a(1-a)^2\) si ottiene \(16/27\) per \(a = 1/3\), e la derivazione stessa perde validità oltre \(a \approx 0{,}4\), dove la scia diventa turbolenta e subentrano correzioni empiriche. Tre precisazioni meritano di essere fatte per bene. La rotazione della scia - la coppia di reazione fa girare la scia - costa un altro qualche per cento, di più a bassi rapporti di velocità periferica: è la correzione di Glauert. Il numero finito di pale lascia sfuggire flusso attorno alle punte, e il fattore di perdita d'estremità di Prandtl ne tiene conto. E il limite è definito rispetto all'area del disco: una turbina con diffusore può superare \(16/27\) della sua area di rotore proprio perché richiama un tubo di flusso più largo del rotore, il che non è una violazione ma un cambio di denominatore.

03Dal disco alle pale vere

La teoria degli elementi di pala chiude il divario. Dividi la pala in elementi radiali, ognuno un profilo alare che vede un vento relativo composto dal flusso assiale \(v(1-a)\) e da quello rotazionale \(\omega r(1+a')\), dove \(a'\) è il fattore di induzione tangenziale. Ogni elemento produce portanza e resistenza a partire dal suo angolo d'attacco locale, poi si integra per avere spinta e coppia e si itera finché carichi degli elementi e bilancio della quantità di moto non concordano. Il guadagno di progetto è che domina la portanza: i rotori moderni sono macchine a portanza che lavorano a rapporti di velocità periferica vicini a 7, dove la punta della pala viaggia parecchie volte più veloce del vento, ed è per questo che tre pale sottili battono un rotore a vela con decine di pale.

04Il controllo, in quattro regioni

Sotto la velocità di avvio la coppia aerodinamica non vince le perdite. Nella regione 2 il controllore applica al generatore una coppia \(Q = K\omega^2\) con \(K = \tfrac{1}{2}\rho\pi R^5 C_{p,\max}/\lambda_{\text{opt}}^3\), che - notevolmente - tiene \(\lambda\) al suo ottimo senza mai misurare il vento. Nella regione 2.5 il rotore raggiunge il limite di velocità e \(\lambda\) si allontana. Sopra il vento nominale, regione 3, la macchina produce già tutta la potenza che generatore e cavi possono reggere, quindi il pitch collettivo ruota le pale dentro il vento per scaricare portanza e tenere \(P\) piatta, buttando via di proposito energia per tutto il resto della curva. Sopra la velocità di distacco, tipicamente 25 m/s, il rotore si mette in bandiera e gira a vuoto, perché i carichi che contano sono strutturali e non elettrici.

05Perché le turbine continuano a crescere

La cattura di energia scala come \(D^2\) mentre una scalatura ingenua della massa delle pale va come \(D^3\): la legge quadrato-cubo, che avrebbe dovuto fermare la crescita decenni fa. Non l'ha fatto, perché il cubo non viene rispettato: longheroni in carbonio, pale snelle ad alto allungamento, stampi segmentati e generatori a presa diretta hanno tenuto l'esponente della massa vicino a 2,3. L'altezza aiuta due volte, perché il profilo di shear \(v(z) = v_r(z/z_r)^\alpha\) con \(\alpha \approx 0{,}14\) su terreno aperto significa che un mozzo più alto sta in aria più veloce e meno turbolenta, e il cubo amplifica quel guadagno. I vincoli che mordono oggi sono la logistica e i carichi alla radice della pala, non l'aerodinamica.

06Da una macchina a un parco eolico

L'energia annua non è la curva di potenza alla velocità media ma la curva integrata contro la distribuzione del vento, di solito una Weibull con forma \(k \approx 2\): \(E = 8760\int_0^\infty P(v)f(v)\,dv\). Poiché \(P \propto v^3\) sotto la nominale, la varianza vale soldi. Poi metti insieme le macchine e si disturbano a vicenda: ogni scia porta un deficit di velocità che recupera lentamente, e perdite d'array del 5-15% sono normali, motivo per cui la spaziatura è di 7-10 diametri sottovento. Il semplice modello di Jensen, \(v_w = v\left[1-2a/(1+2kx/D)^2\right]\), è ancora alla base dell'ottimizzazione dei layout. Alla fine il vincolo è la rete: una flotta asincrona, accoppiata tramite inverter, non fornisce inerzia naturale, quindi le stesse macchine che fanno gli elettroni a buon mercato rendono più difficile il controllo della frequenza - un problema di contabilità che ora tocca all'intero sistema risolvere.